integrale de x-sqrt(x) — solution étape par étape

Intégrons :

\int (x - \sqrt{x}) d x

ⅰ

\int (x - \sqrt{x}) d x

\int x d x - \int \sqrt{x} d x

\int x d x - \int \sqrt{x} d x

Pour

\sqrt{x}

, on utilise la formule d'intégration :

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int \sqrt{x} d x

- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

- x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{3}

\frac{x^{2}}{2} - x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{3}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{3}

\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}

\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C