integrale de xln(10x) entre 0 et 1/10

⚠ 10x est lu comme le produit 10*x : pour une puissance, écrivez 10^x

⚠ xln(10x) est lu comme x*ln(10x) : utilisez * pour une multiplication, utilisez ^ pour une puissance

1) Intégrons :

\int(x \cdot \ln (10 x))dx

Pour

x \cdot \ln (10 x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

\ln (10 x)

et v2' =

x

2) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

10 x

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

ℹ

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

‖

\frac{d}{d x} (10 x)

10

\frac{10}{10 x}

\frac{1}{x}

Ainsi

u1'

est

\frac{1}{x}

3) Calculons l'intégrale v2' :

\int(x)dx

\frac{x^{2}}{2}

4) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

ℹ

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

‖

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x}{2}

\frac{x}{2}

5) Calculons l'intégrale

u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

\ln (10 x) \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int(\frac{x}{2})dx

ℹ

\ln (10 x) \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2}

‖

- \int(\frac{x}{2})dx

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

▷

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

L'intégrande n'est pas défini en

0

: on prend la limite de la primitive depuis l'intérieur de l'intervalle

⇥5.1) Calculons la limite de

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

lorsque

x \to 0

⁺

⇥ La limite de

x^{2}

est

0

⁺ quand

x \to 0

⁺

⇥ La limite de

10 x

est (

10 \cdot 0

)⁺ quand

x \to 0

⁺

⇥5.2) Évaluons :

10 \cdot 0

⇥

0

⇥ La limite de

\ln (10 x)

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

⇥ La limite de

2 \cdot \ln (10 x)

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

⇥ La limite de

2 \cdot \ln (10 x) - 1

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

⇥Pour :

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

, on tombe sur la limite indéterminée :

0 \cdot -∞

quand

x

tend vers

0

⇥5.3) Pour lever la forme indéterminée 0 × ∞, on réécrit le produit

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

sous forme de quotient

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥ La limite de

\frac{1}{x^{2}}

est

+∞

quand

x \to 0

⁺

⇥Pour :

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

, on tombe sur la limite indéterminée :

- \frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

0

⇥5.4) Appliquons la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en dérivant numérateur et dénominateur :

⇥Dérivons :

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

⇥

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

10 x

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

⇥

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{5 x}

⇥

\frac{10}{5 x}

⇥

\frac{2}{x}

⇥5.5) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})

⇥Pour

u1

1

v2

x^{2}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{u1}{v2}) = \frac{\frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 - u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)}{{v2}^{2}}

⇥5.6) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (1)

⇥

0

⇥5.7) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

2 x

⇥5.8) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{u1}{v2}

)' :

\frac{0 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

⇥ℹ

0 \cdot x^{2}

0

‖

{(x^{2})}^{2}

x^{(2 \cdot 2)}

⇥

\frac{0 - 2 x}{x^{(2 \cdot 2)}}

⇥

- \frac{2 x}{x^{4}}

⇥

- \frac{2}{x^{3}}

⇥Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

⇥

\frac{\frac{2}{x}}{- \frac{2}{x^{3}}}

⇥

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

⇥

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

⇥ℹ

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

- \frac{2 x^{3}}{x \cdot 2}

‖

- \frac{2 x^{3}}{x \cdot 2}

\frac{-2 x^{2}}{2}

⇥

\frac{-2 x^{2}}{2}

⇥

- \frac{2 x^{2}}{2}

⇥

- x^{2}

⇥ La limite de

- x^{2}

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

⇥ La limite de

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

⇥La limite de

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

⇥Donc la limite de

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

est

0

quand

x \to 0

⁺

6) Evaluons pour l'intervalle

[0, \frac{1}{10}]

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 \cdot \frac{1}{10}) - 1)}{4}

ℹ

10 \cdot \frac{1}{10}

\frac{10}{10}

‖

\frac{10}{10}

1

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4}

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot 0 - 1)}{4}

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (0 - 1)}{4}

- \frac{{(\frac{1}{10})}^{2}}{4}

- \frac{\frac{1}{10^{2}}}{4}

- \frac{\frac{1}{100}}{4}

- \frac{1}{100} \cdot \frac{1}{4}

▶Intégrale :

- \frac{1}{400}

7) La valeur numérique de :

- \frac{1}{400}

est :

▷

-0.0025