integrale entre 0 et 1 de ln(4x) — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int(\ln (4 x))dx

Pour

\ln (4 x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

\ln (4 x)

et v2' =

1

2) Dérivons u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

4 x

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

ℹ

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

‖

\frac{d}{d x} (4 x)

4

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

Donc la valeur de

u1'

est

\frac{1}{x}

3) Calculons l'intégrale v2' :

\int(1)dx

x

4) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

ℹ

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{x}{x}

‖

\frac{x}{x}

1

1

5) Intégrons

u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

\ln (4 x) \cdot x - \int(1)dx

\ln (4 x) \cdot x - x

L'intégrande n'est pas défini en

0

: on prend la limite de la primitive depuis l'intérieur de l'intervalle

⇥5.1) Calculons la limite de

x \cdot \ln (4 x) - x

lorsque

x \to 0

⁺

⇥ La limite de

4 x

est

4 \cdot 0

⁺ quand

x \to 0

⁺

⇥⇥5.1.1) Calculons :

4 \cdot 0

⇥⇥

0

⇥ La limite de

\ln (4 x)

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

⇥Pour

x \cdot \ln (4 x)

, on obtient la forme indéterminée :

0 \cdot -∞

lorsque

x

tend vers

0

⇥5.2) Pour lever la forme indéterminée 0 × ∞, on réécrit le produit

x \cdot \ln (4 x)

sous forme de quotient

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

⇥ La limite de

\frac{1}{x}

est

+∞

quand

x \to 0

⁺

⇥Pour :

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

, on tombe sur la limite indéterminée :

- \frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

0

⇥5.3) Appliquons la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en dérivant numérateur et dénominateur :

⇥Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

4 x

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

‖

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥5.4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

⇥Pour

u1

1

v2

x

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{u1}{v2}) = \frac{\frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 - u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)}{{v2}^{2}}

⇥5.5) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (1)

⇥

0

⇥5.6) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} (x)

⇥

1

⇥5.7) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{u1}{v2}

)' :

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}}

⇥ℹ

0 \cdot x

0

‖

- 1 \cdot 1

-1

⇥

\frac{0 - 1}{x^{2}}

⇥

- \frac{1}{x^{2}}

⇥Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

⇥

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

⇥

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

⇥ℹ

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{x^{2}}{x}

‖

- \frac{x^{2}}{x}

- x

⇥

- x

⇥ La limite de

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

⇥La limite de

x \cdot \ln (4 x)

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

⇥Donc la limite de

x \cdot \ln (4 x) - x

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

6) Évaluons sur l'intervalle

[0, 1]

1 \cdot \ln (4 \cdot 1) - 1

\ln (4) - 1

▶Intégrale :

2 \cdot \ln (2) - 1

7) La valeur numérique de :

2 \cdot \ln (2) - 1

vaut :

2 \cdot \approx 0.6931 - 1

\approx 1.3863 - 1

▷

\approx 0.3863