integrale entre 0 et 1 de (1-x^2)^2 — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x

⇥Pour

{(1 - x^{2})}^{2}

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

{(1 - x^{2})}^{2}

et v2' =

1

⇥1.1) Dérivons u1 :

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{2})

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

1 - x^{2}

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (1 - x^{2})

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (1 - x^{2})

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (1 - x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) + 2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (- x^{2})

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 - x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

⇥

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + 2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) \cdot (- x^{2})

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

\frac{d}{d x} (- x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

■On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- x^{2})

-2 x^{2}

⇥

2 \cdot (- 2 x) - 2 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) \cdot x^{2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-2)

-4

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

⇥

- 4 x - 2 \cdot (- 2 x) \cdot x^{2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-2 \cdot (-2)

4

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x x^{2}

x^{3}

⇥

- 4 x + 4 x^{3}

⇥Donc

u1'

correspond à

- 4 x + 4 x^{3}

⇥1.2) Calculons l'intégrale v2' :

\int 1 d x

⇥ⓘ La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Calculons

u1' \cdot v2

(- 4 x + 4 x^{3}) \cdot x

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(- 4 x + 4 x^{3}) \cdot x

- 4 x^{2} + 4 x^{4}

⇥

- 4 x^{2} + 4 x^{4}

⇥1.4) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x - \int (- 4 x^{2} + 4 x^{4}) d x

⇥ⅰ

- \int (- 4 x^{2} + 4 x^{4}) d x

- (- \int 4 x^{2} d x + \int 4 x^{4} d x)

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x - (- \int 4 x^{2} d x + \int 4 x^{4} d x)

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \int 4 x^{2} d x + \int 4 x^{4} d x)

\int 4 x^{2} d x - \int 4 x^{4} d x

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \int 4 x^{2} d x - \int 4 x^{4} d x

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 4 x^{2} d x

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \int 4 x^{4} d x

- 4 \cdot \frac{x^{5}}{5}

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + 4 \cdot \frac{x^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x^{5}}{5}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot \frac{x^{5}}{5}

\frac{4 x^{5}}{5}

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{5}

On poursuit ensuite l'intégration :

ⅰ

\int {(1 - x^{2})}^{2} d x

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{5}

▷

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{5}

2) Évaluons pour l'intervalle

[0; 1]

(- \frac{4 \cdot 1^{5}}{5} + \frac{4 \cdot 1^{3}}{3} + 1 \cdot {(1 - 1^{2})}^{2}) - (- \frac{4 \cdot 0^{5}}{5} + \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \frac{4 \cdot 0^{5}}{5} + \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2})

\frac{4 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2}

- \frac{4}{5}

+ \frac{4}{3}

+ {(1 - 1)}^{2}

+ \frac{4 \cdot 0^{5}}{5}

- \frac{4 \cdot 0^{3}}{3}

+ 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

15

, le plus petit commun multiple de

5

3

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{4}{5} + \frac{4}{3}

\frac{-4 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5}

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

■Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 1

0

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

4 \cdot 0

0

0 \cdot 1

0

■Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

+ 0^{2}

+ 0

+ 0

+ 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

+ 0

+ 0

+ 0

+ 0

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

4 \cdot 5

20

ⅰ

5 \cdot 3

15

\frac{- 12 + 20}{15}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 12 + 20

8

▶Intégrale :

\frac{8}{15}

3) La valeur numérique de :

\frac{8}{15}

vaut :

▷

\approx 0,5333