integrale entre 0 et 1 de (1-x^7)^2 — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int_{0}^{1} {(1 - x^{7})}^{2} d x

⇥Pour

{(1 - x^{7})}^{2}

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

{(1 - x^{7})}^{2}

et v2' =

1

⇥1.1) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{7})}^{2})

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

1 - x^{7}

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{7})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (1 - x^{7})

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (1 - x^{7})

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (1 - x^{7})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) + 2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (- x^{7})

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 - x^{7})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})

⇥

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})) + 2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})) \cdot (- x^{7})

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})

\frac{d}{d x} (- x^{7})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{7})

- 7 x^{6}

■On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- x^{7})

-2 x^{7}

⇥

2 \cdot (- 7 x^{6}) - 2 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{7}) \cdot x^{7}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-7)

-14

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{7})

- 7 x^{6}

⇥

- 14 x^{6} - 2 \cdot (- 7 x^{6}) \cdot x^{7}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-2 \cdot (-7)

14

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x^{6} x^{7}

x^{13}

⇥

- 14 x^{6} + 14 x^{13}

⇥Donc

u1'

correspond à

- 14 x^{6} + 14 x^{13}

⇥1.2) Calculons l'intégrale v2' :

\int 1 d x

⇥ⓘ La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Calculons

u1' \cdot v2

(- 14 x^{6} + 14 x^{13}) \cdot x

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(- 14 x^{6} + 14 x^{13}) \cdot x

- 14 x^{7} + 14 x^{14}

⇥

- 14 x^{7} + 14 x^{14}

⇥1.4) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x - \int (- 14 x^{7} + 14 x^{14}) d x

⇥ⅰ

- \int (- 14 x^{7} + 14 x^{14}) d x

- (- \int 14 x^{7} d x + \int 14 x^{14} d x)

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x - (- \int 14 x^{7} d x + \int 14 x^{14} d x)

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \int 14 x^{7} d x + \int 14 x^{14} d x)

\int 14 x^{7} d x - \int 14 x^{14} d x

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \int 14 x^{7} d x - \int 14 x^{14} d x

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 14 x^{7} d x

14 \cdot \frac{x^{8}}{8}

- \int 14 x^{14} d x

- 14 \cdot \frac{x^{15}}{15}

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + 14 \cdot \frac{x^{8}}{8} - 14 \cdot \frac{x^{15}}{15}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

14 \cdot \frac{x^{8}}{8}

\frac{14 x^{8}}{8}

14 \cdot \frac{x^{15}}{15}

\frac{14 x^{15}}{15}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 x^{8}}{8}

\frac{7 x^{8}}{4}

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \frac{7 x^{8}}{4} - \frac{14 x^{15}}{15}

Puis on reprend l'intégration :

ⅰ

\int {(1 - x^{7})}^{2} d x

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \frac{7 x^{8}}{4} - \frac{14 x^{15}}{15}

▷

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \frac{7 x^{8}}{4} - \frac{14 x^{15}}{15}

2) Évaluons sur l'intervalle

[0; 1]

(- \frac{14 \cdot 1^{15}}{15} + \frac{7 \cdot 1^{8}}{4} + 1 \cdot {(1 - 1^{7})}^{2}) - (- \frac{14 \cdot 0^{15}}{15} + \frac{7 \cdot 0^{8}}{4} + 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \frac{14 \cdot 0^{15}}{15} + \frac{7 \cdot 0^{8}}{4} + 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2})

\frac{14 \cdot 0^{15}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{4} + 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2}

- \frac{14}{15}

+ \frac{7}{4}

+ {(1 - 1)}^{2}

+ \frac{14 \cdot 0^{15}}{15}

- \frac{7 \cdot 0^{8}}{4}

+ 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

60

, le plus petit commun multiple de

15

4

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{14}{15} + \frac{7}{4}

\frac{-14 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 15}{4 \cdot 15}

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

■Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 1

0

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

14 \cdot 0

0

7 \cdot 0

0

0 \cdot 1

0

■Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

+ 0^{2}

+ 0

+ 0

+ 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

+ 0

+ 0

+ 0

+ 0

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

14 \cdot 4

(10 + 4) \cdot 4

10 \cdot 4 + 4 \cdot 4

40 + 16

56

7 \cdot 15

7 \cdot (10 + 5)

7 \cdot 10 + 7 \cdot 5

70 + 35

105

ⅰ

15 \cdot 4

(10 + 5) \cdot 4

10 \cdot 4 + 5 \cdot 4

40 + 20

60

\frac{- 56 + 105}{60}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 56 + 105

49

▶Intégrale :

\frac{49}{60}

3) La valeur numérique de :

\frac{49}{60}

vaut :

▷

\approx 0,8167