integrale entre 0 et 1 de sqrt(x+16)

1) Intégrons :

\int_{0}^{1} \sqrt{x + 16} d x

Pour l'expression mathématique :

\sqrt{x + 16}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(x + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{3}{2}})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x + 16

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x + 16)

1 + 0

\frac{3 \cdot (1 + 0) \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

\frac{3 \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

est

\sqrt{x + 16}

, donc

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

est une primitive de

\sqrt{x + 16}

\int \sqrt{x + 16} d x

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

▷

\frac{2 \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

3) Évaluons sur l'intervalle

[0; 1]

\frac{2 \cdot {(1 + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0 + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 + 16

17

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 16

16

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

16^{\frac{3}{2}}

16 \cdot \sqrt{16}

\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 16 \cdot \sqrt{16}}{3}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

17^{\frac{3}{2}}

17 \cdot \sqrt{17}

■La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

\frac{2 \cdot 17 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{32 \cdot 4}{3}

ⅰ

2 \cdot 17

2 \cdot (10 + 7)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 7

20 + 14

34

■

32 \cdot 4

(30 + 2) \cdot 4

30 \cdot 4 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

\frac{34 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{128}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{34 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{128}{3}

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

▶Intégrale :

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

4) La valeur numérique de :

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

vaut :

\frac{34 \cdot \approx 4,1231 - 128}{3}

\frac{\approx 140,1856 - 128}{3}

\frac{\approx 12,1856}{3}

▷

\approx 4,0619