integrale entre 0 et 1 de x^2(x^3-2)^3

1) Calculons l'intégrale :

\int_{0}^{1} x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x

On pose

u = x^{3} - 2

. Alors

du = 3 x^{2} \cdot dx

, donc

x^{2} \cdot dx = \frac{du}{3}

\int x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x = \frac{1}{3} \cdot \int u^{3} d u

Une primitive de

u^{3}

est

\frac{u^{4}}{4}

On remplace

u

par

x^{3} - 2

dans la primitive

ⅰ

\int x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x

\frac{{(x^{3} - 2)}^{4}}{12}

▷

\frac{{(x^{3} - 2)}^{4}}{12}

2) Évaluons sur l'intervalle

[0; 1]

\frac{{(1^{3} - 2)}^{4}}{12} - \frac{{(0^{3} - 2)}^{4}}{12}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 2

-1

■Additionner 0 ne change rien :

0 - 2

-2

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

\frac{{(-1)}^{4}}{12} - \frac{16}{12}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{16}{12}

- \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4}

- \frac{4}{3}

\frac{1}{12} - \frac{4}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

12

, le plus petit commun multiple de

12

3

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{1}{12} - \frac{4}{3}

\frac{1}{12} + \frac{-4 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{1 - 4 \cdot 4}{12}

\frac{1 - 4 \cdot 4}{12}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

\frac{1 - 16}{12}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 16

-15

- \frac{15}{12}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{15}{12}

- \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}

- \frac{5}{4}

▶Intégrale :

- \frac{5}{4}

3) La valeur numérique de :

- \frac{5}{4}

vaut :

▷

-1,25