integrale entre 0 et 2 de (4x^3-3x^2+2x)

Intégrons :

\int_{0}^{2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) d x

ⅰ

\int (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) d x

\int 4 x^{3} d x - \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x

\int 4 x^{3} d x - \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 4 x^{3} d x

4 \cdot \frac{x^{4}}{4}

- \int 3 x^{2} d x

- 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{4 x^{4}}{4}

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 x^{4}}{4}

x^{4}

- \frac{3 x^{3}}{3}

- x^{3}

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

▷

x^{4} - x^{3} + x^{2}

Évaluons sur l'intervalle

[0; 2]

(2^{4} - 2^{3} + 2^{2}) - (0^{4} - 0^{3} + 0^{2})

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (0^{4} - 0^{3} + 0^{2})

- 0^{4} + 0^{3} - 0^{2}

16

- 8

+ 4

- 0^{4}

+ 0^{3}

- 0^{2}

ⓘ On part de

16

et on recule de

8

sur la droite des nombres :

16 - 8

8

■Additionner 0 ne change rien :

4

+ 0

+ 0

+ 0

4

8 + 4

ⓘ On part de

8

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

8 + 4

12

▶Intégrale :

12