integrale entre 0 et 4 de 4y-y^2 — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int_{0}^{4} (4 y - y^{2}) d y

ⅰ

\int (4 y - y^{2}) d y

\int 4 y d y - \int y^{2} d y

\int 4 y d y - \int y^{2} d y

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 4 y d y

4 \cdot \frac{y^{2}}{2}

■Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

4 \cdot \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{4 y^{2}}{2}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 y^{2}}{2}

2 y^{2}

▷

2 y^{2} - \frac{y^{3}}{3}

2) Évaluons pour l'intervalle

[0; 4]

(2 \cdot 4^{2} - \frac{4^{3}}{3}) - (2 \cdot 0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot 0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

- 2 \cdot 0^{2} + \frac{0^{3}}{3}

2 \cdot 16

- \frac{64}{3}

- 2 \cdot 0^{2}

+ \frac{0^{3}}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

-2 \cdot 0

0

32

- \frac{64}{3}

+ 0

+ 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- \frac{64}{3} + 0 + 0

- \frac{64}{3}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

32 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 32 - 64}{3}

\frac{3 \cdot 32 - 64}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 32

3 \cdot (30 + 2)

3 \cdot 30 + 3 \cdot 2

90 + 6

96

\frac{96 - 64}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

96 - 64

32

▶Intégrale :

\frac{32}{3}

3) La valeur numérique de :

\frac{32}{3}

est :

▷

\approx 10,6667