integrale entre 0 et 4 de (8t)/((t-5)^2)

1) Intégrons :

\int_{0}^{4} \frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} d t

2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

\frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} = \frac{A}{t - 5} + \frac{B}{{(t - 5)}^{2}}

Pour trouver les inconnues restantes, on multiplie de part et d'autre par le dénominateur :

{(t - 5)}^{2}

, ce qui donne :

8 t = A \cdot (t - 5) + B

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

A \cdot (t - 5)

A t + A \cdot (-5)

8 t = A t + A \cdot (-5) + B

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

A \cdot (-5)

- 5 A

8 t = A t - 5 A + B

3) En identifiant les différents termes, on obtient le système d'équations :

[1] :

8 = A

[2] :

0 = - 5 A + B

Solution obtenue [1] :

A = 8

4) Cherchons B dans :

0 = - 5 A + B

[2] où

A = 8

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 8

40

- 40 + B = 0

ⓘ On ajoute

40

aux deux membres

Solution obtenue [2] :

B = 40

5) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

\frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} = \frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

6) Calculons l'intégrale :

\int (\frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}) d t

ⅰ

\int (\frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}) d t

\int \frac{8}{t - 5} d t + \int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

\int \frac{8}{t - 5} d t + \int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

On pose

u = t - 5

. Alors

du = dt

, donc

dt = du

\int \frac{8}{t - 5} d t = 8 \cdot \int \frac{1}{u} d u

On utilise

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

t - 5 \neq 0

On remplace

u

par

t - 5

dans la primitive

On pose

u = t - 5

. Alors

du = dt

, donc

dt = du

\int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t = 40 \cdot \int u^{-2} d u

On applique la règle des puissances :

\int u^{-2} d u = - u^{-1}

On remplace

u

par

t - 5

dans la primitive

La primitive est valable sur chaque intervalle où

t - 5 \neq 0

ⓘ La dérivée de

\frac{40}{- t + 5}

est

\frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

, donc

\frac{40}{- t + 5}

est une primitive de

\frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

\int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

\frac{40}{- t + 5}

ⅰ

\int \frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} d t

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

On met en facteur

8

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

8 \cdot (\ln | t - 5 | + \frac{5}{- t + 5})

Facteur identifié :

\ln | t - 5 | + \frac{5}{5 - t}

▷

8 \cdot (\ln | t - 5 | + \frac{5}{5 - t})

7) Évaluons sur l'intervalle

[0; 4]

8 \cdot (\ln | 4 - 5 | + \frac{5}{5 - 4}) - 8 \cdot (\ln | 0 - 5 | + \frac{5}{5 + 0})

ⓘ On part de

4

et on recule de

5

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

4 - 5

-1

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 4

1

■Additionner 0 ne change rien :

0 - 5

-5

5 + 0

5

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

5

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{5}{5}

1

8 \cdot (\ln | -1 | + \frac{5}{1}) - 8 \cdot (\ln | -5 | + 1)

8 \cdot (\ln | -1 | + 5) - 8 \cdot (\ln | -5 | + 1)

ⓘ L'expression dans la valeur absolue est négative ou nulle, donc sa valeur absolue est égale à son opposé :

| -1 |

1

| -5 |

5

■On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

8 \cdot (\ln (1) + 5)

8 \cdot \ln (1) + 40

- 8 \cdot (\ln (5) + 1)

- (8 \cdot \ln (5) + 8)

8 \cdot \ln (1) + 40 - (8 \cdot \ln (5) + 8)

ⓘ ln(1) = 0, car exp(0) = 1 :

\ln (1)

0

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (8 \cdot \ln (5) + 8)

- 8 \cdot \ln (5) - 8

8 \cdot 0

+ 40

- 8 \cdot \ln (5)

- 8

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

8 \cdot 0

0

■On part de

40

et on recule de

8

sur la droite des nombres :

40 - 8

32

0 + 32 - 8 \cdot \ln (5)

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 32

32

▶Intégrale :

32 - 8 \cdot \ln (5)

8) La valeur numérique de :

32 - 8 \cdot \ln (5)

est :

32 - 8 \cdot \approx 1,6094

32 - \approx 12,8755

▷

\approx 19,1245