integrale entre 0 et 6 de 1/sqrt(x^2+64)

1) Calculons l'intégrale :

\int_{0}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}} d x

La dérivée de

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

est

\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 64}}}{x + \sqrt{x^{2} + 64}}

\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 64} + x}{\sqrt{x^{2} + 64}}}{x + \sqrt{x^{2} + 64}}

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

ⓘ La dérivée de

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

est

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

, donc

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

est une primitive de

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}} d x

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

▷

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

2) Évaluons sur l'intervalle

[0; 6]

\ln (6 + \sqrt{6^{2} + 64}) - \ln (0 + \sqrt{0^{2} + 64})

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

6^{2}

6 \cdot 6

36

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 64

64

0 + \sqrt{64}

\sqrt{64}

■La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{64}

8

;

8^{2}

64

\ln (6 + \sqrt{36 + 64}) - \ln (8)

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

36 + 64

100

■Le logarithme d'une puissance est un multiple du logarithme, ln(a^n) = n*ln(a) :

- \ln (8)

- \ln (2^{3})

- 3 \cdot \ln (2)

\ln (6 + \sqrt{100}) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{100}

10

;

10^{2}

100

\ln (6 + 10) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ On part de

6

et on avance de

10

sur la droite des nombres :

6 + 10

16

\ln (16) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (16) - 3 \cdot \ln (2)

\ln (\frac{16}{2^{3}})

\ln (\frac{16}{2^{3}})

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

\ln (\frac{16}{8})

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{8}

2

▶Intégrale :

\ln (2)

3) La valeur numérique de :

\ln (2)

vaut :

▷

\approx 0,6931