integrale entre 0 et pi de -2sin(x)^2

1) Calculons l'intégrale :

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot {\sin (x)}^{2}) d x

On abaisse le carré avec l'identité

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int (- 2 \cdot {\sin (x)}^{2}) d x

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

Pour l'expression mathématique :

- \cos (2 x)

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (2 x)

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

2 x

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

- (- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x)

- (- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x)

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{2}

\frac{\sin (2 x)}{2}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \frac{\sin (2 x)}{2} + \int 1 d x)

\frac{\sin (2 x)}{2} - \int 1 d x

\frac{\sin (2 x)}{2} - \int 1 d x

ⓘ La dérivée de

- x

est

-1

, donc

- x

est une primitive de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{\sin (2 x)}{2} - x

3) Évaluons sur l'intervalle

[0; π]

(\frac{\sin (2 π)}{2} - π) - (\frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0)

ⓘ cos et sin sont périodiques de période 2π :

\sin (2 π)

\sin (0)

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0)

- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0

\frac{\sin (0)}{2}

- π

- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2}

+ 0

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\sin (0)

0

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

2 \cdot 0

0

■Additionner 0 ne change rien :

- \frac{\sin (0)}{2} + 0

- \frac{\sin (0)}{2}

\frac{0}{2} - π - \frac{\sin (0)}{2}

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\sin (0)

0

0 - π - \frac{0}{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - π

- π

- π + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- π + 0

- π

▶Intégrale :

- π

4) La valeur numérique de :

- π

est :

▷

\approx -3,1416