integrale entre 0 et pi/4 de 4sin^2(x)

1) Calculons l'intégrale :

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \cdot {\sin (x)}^{2} d x

On abaisse le carré avec l'identité

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int 4 \cdot {\sin (x)}^{2} d x

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

Pour l'expression mathématique :

- 2 \cdot \cos (2 x)

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (2 x)

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

2 x

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

- \sin (2 x) + \int 2 d x

- \sin (2 x) + \int 2 d x

ⓘ La dérivée de

2 x

est

2

, donc

2 x

est une primitive de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \sin (2 x) + 2 x

3) Évaluons sur l'intervalle

[0; \frac{π}{4}]

(2 \cdot \frac{π}{4} - \sin (2 \cdot \frac{π}{4})) - (2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0))

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{π}{4}

\frac{2 π}{4}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 π}{4}

\frac{π}{2}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0))

- 2 \cdot 0 + \sin (2 \cdot 0)

\frac{π}{2}

- \sin (\frac{π}{2})

- 2 \cdot 0

+ \sin (2 \cdot 0)

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

\frac{π}{2}

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

- \sin (\frac{π}{2})

-1

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

-2 \cdot 0

0

2 \cdot 0

0

\frac{π}{2}

- 1

+ 0

+ \sin (0)

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \sin (0)

\sin (0)

■Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\sin (0)

0

\frac{π}{2} - 1 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- 1 + 0

-1

▶Intégrale :

\frac{π}{2} - 1

4) La valeur numérique de :

\frac{π}{2} - 1

est :

\frac{\approx 3,1416}{2} - 1

\approx 1,5708 - 1

▷

\approx 0,5708