integrale entre 1 et 2 de (x-2)/x^3 — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int_{1}^{2} \frac{x - 2}{x^{3}} d x

Pour

x

≠ 0, on divise chaque terme du numérateur par la puissance du dénominateur :

\frac{x - 2}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}

ⅰ

\int \frac{x - 2}{x^{3}} d x

\int \frac{1}{x^{2}} d x - \int \frac{2}{x^{3}} d x

\int \frac{1}{x^{2}} d x - \int \frac{2}{x^{3}} d x

ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{1}{x^{2}} d x

\int x^{-2} d x

- x^{-1}

- \frac{1}{x}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int \frac{2}{x^{3}} d x

- \int 2 x^{-3} d x

x^{-2}

\frac{1}{x^{2}}

▷

- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

Évaluons pour l'intervalle

[1; 2]

(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{1})

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{1})

- \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{1}

\frac{1}{4}

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{1^{2}}

+ \frac{1}{1}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{4} - \frac{1}{2}

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4}

■On part de

-1

et on avance de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 1 + 1

0

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4} + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4} + 0

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

\frac{1 - 2}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 2

-1

▶Intégrale :

- \frac{1}{4}

La valeur numérique de :

- \frac{1}{4}

est :

▷

-0,25