integrale entre 1 et 25 de 2/x — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int_{1}^{25} \frac{2}{x} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 \cdot \int \frac{1}{x} d x

On utilise

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

x \neq 0

ⓘ La dérivée de

2 \cdot \ln | x |

est

\frac{2}{x}

, donc

2 \cdot \ln | x |

est une primitive de

\frac{2}{x}

\int \frac{2}{x} d x

2 \cdot \ln | x |

▷

2 \cdot \ln | x |

2) Évaluons sur l'intervalle

[1; 25]

2 \cdot \ln | 25 | - 2 \cdot \ln | 1 |

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

2 \cdot \ln | 25 | - 2 \cdot \ln | 1 |

\ln (\frac{{| 25 |}^{2}}{{| 1 |}^{2}})

\ln (\frac{{| 25 |}^{2}}{{| 1 |}^{2}})

ⓘ Une valeur absolue élevée à une puissance paire peut s'enlever :

| 25 |

25

| 1 |

1

\ln (\frac{25^{2}}{1^{2}})

ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

25^{2}

25 \cdot 25

625

\ln (625)

ⓘ Le logarithme d'une puissance est un multiple du logarithme, ln(a^n) = n*ln(a) :

\ln (625)

\ln (5^{4})

4 \cdot \ln (5)

▶Intégrale :

4 \cdot \ln (5)

3) La valeur numérique de :

4 \cdot \ln (5)

vaut :

4 \cdot \approx 1,6094

▷

\approx 6,4378