integrale entre 2 et 3 de (x^2-4) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x

ⅰ

\int (x^{2} - 4) d x

\int x^{2} d x - \int 4 d x

\int x^{2} d x - \int 4 d x

ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

- 4 x

est

-4

, donc

- 4 x

est une primitive de

-4

- \int 4 d x

- 4 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 4 x

2) Évaluons sur l'intervalle

[2; 3]

(\frac{3^{3}}{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{2^{3}}{3} - 4 \cdot 2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{2^{3}}{3} - 4 \cdot 2)

- \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2

\frac{27}{3}

- 12

- \frac{2^{3}}{3}

+ 4 \cdot 2

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{27}{3}

9

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

9

- 12

- \frac{8}{3}

+ 8

ⓘ On part de

9

et on recule de

12

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

9 - 12

-3

- 3 - \frac{8}{3} + 8

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- 3 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot (-3) - 8}{3}

\frac{3 \cdot (-3) - 8}{3} + 8

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

3 \cdot (-3)

-9

\frac{- 9 - 8}{3} + 8

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 9 - 8

-17

- \frac{17}{3} + 8

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{17}{3} + 8

\frac{- 17 + 8 \cdot 3}{3}

\frac{- 17 + 8 \cdot 3}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 3

24

\frac{- 17 + 24}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 17 + 24

7

▶Intégrale :

\frac{7}{3}

3) La valeur numérique de :

\frac{7}{3}

vaut :

▷

\approx 2,3333