integrale entre 2 et 5 de (4x-2) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int_{2}^{5} (4 x - 2) d x

ⅰ

\int (4 x - 2) d x

\int 4 x d x - \int 2 d x

\int 4 x d x - \int 2 d x

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 4 x d x

4 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La dérivée de

- 2 x

est

-2

, donc

- 2 x

est une primitive de

-2

- \int 2 d x

- 2 x

4 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 2 x

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{4 x^{2}}{2}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 x^{2}}{2}

2 x^{2}

2 x^{2} - 2 x

On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (2 x - 2)

Mettons en facteurs dans

ℝ

(2 x - 2)

On met en facteur

2

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

2 x - 2

2 \cdot (x - 1)

Facteur identifié :

x - 1

▷

2 x \cdot (x - 1)

2) Évaluons pour l'intervalle

[2; 5]

2 \cdot 5 \cdot (5 - 1) - 2 \cdot 2 \cdot (2 - 1)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 5

10

2 \cdot 2

4

■Les parenthèses se calculent en premier :

5 - 1

4

2 - 1

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

4 \cdot 1

4

10 \cdot 4 - 4

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

10 \cdot 4

40

40 - 4

ⓘ On part de

40

et on recule de

4

sur la droite des nombres :

40 - 4

36

▶Intégrale :

36