integrale entre -1 et 1 de 3x^2sqrt(x^3+5)

1) Intégrons :

\int_{-1}^{1} 3 x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 5} d x

On pose

u = x^{3} + 5

. Alors

du = 3 x^{2} \cdot dx

, donc

3 x^{2} \cdot dx = du

\int 3 x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 5} d x = \int \sqrt{u} d u

Une primitive de

\sqrt{u}

est

\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

On remplace

u

par

x^{3} + 5

dans la primitive

ⅰ

\int 3 x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 5} d x

\frac{2 \cdot {(x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

▷

\frac{2 \cdot {(x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

2) Évaluons pour l'intervalle

[-1; 1]

\frac{2 \cdot {(1^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {({(-1)}^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 + 5

6

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(- 1 + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

6^{\frac{3}{2}}

6 \cdot \sqrt{6}

■Les parenthèses se calculent en premier :

- 1 + 5

4

\frac{2 \cdot 6 \cdot \sqrt{6}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

4^{\frac{3}{2}}

4 \cdot \sqrt{4}

ⅰ

2 \cdot 6

12

\frac{12 \cdot \sqrt{6}}{3} - \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}}{3}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{12 \cdot \sqrt{6}}{3}

4 \cdot \sqrt{6}

■La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

ⅰ

4 \cdot 2

8

4 \cdot \sqrt{6} - \frac{8 \cdot 2}{3}

ⅰ

8 \cdot 2

16

▶Intégrale :

4 \cdot \sqrt{6} - \frac{16}{3}

3) La valeur numérique de :

4 \cdot \sqrt{6} - \frac{16}{3}

est :

4 \cdot \approx 2,4495 - \approx 5,3333

\approx 9,7980 - \approx 5,3333

▷

\approx 4,4646