integrale entre -1 et 1 de 4-4x^2 — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int_{-1}^{1} (4 - 4 x^{2}) d x

ⅰ

\int (4 - 4 x^{2}) d x

\int 4 d x - \int 4 x^{2} d x

\int 4 d x - \int 4 x^{2} d x

ⓘ La dérivée de

4 x

est

4

, donc

4 x

est une primitive de

4

\int 4 d x

4 x

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int 4 x^{2} d x

- 4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

4 x - 4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{4 x^{3}}{3}

▷

4 x - \frac{4 x^{3}}{3}

2) Évaluons sur l'intervalle

[-1; 1]

(4 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{3}}{3}) - (4 \cdot (-1) - \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (4 \cdot (-1) - \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

- 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

4

- \frac{4}{3}

- 4 \cdot (-1)

+ \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

4 - \frac{4}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-1)

4

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

4 \cdot (-1)

-4

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3} + 4 - \frac{4}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

4 - \frac{4}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

\frac{12 - 4}{3} + \frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 4

8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

\frac{8}{3} + \frac{12 - 4}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 4

8

\frac{8}{3} + \frac{8}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8}{3} + \frac{8}{3}

\frac{8 + 8}{3}

\frac{8 + 8}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 + 8

16

▶Intégrale :

\frac{16}{3}

3) La valeur numérique de :

\frac{16}{3}

vaut :

▷

\approx 5,3333