integrale entre -1 et 2 de (y+2-y^2)

1) Intégrons :

\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^{2}) d y

ⅰ

\int (y + 2 - y^{2}) d y

\int y d y + \int 2 d y - \int y^{2} d y

\int y d y + \int 2 d y - \int y^{2} d y

ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int y d y

\frac{y^{2}}{2}

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

■La dérivée de

2 y

est

2

, donc

2 y

est une primitive de

2

\int 2 d y

2 y

▷

\frac{y^{2}}{2} + 2 y - \frac{y^{3}}{3}

2) Évaluons pour l'intervalle

[-1; 2]

(- \frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{2}}{2} + 2 \cdot 2) - (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

\frac{{(-1)}^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{2}}{2} - 2 \cdot (-1)

- \frac{8}{3}

+ \frac{4}{2}

+ 4

+ \frac{{(-1)}^{3}}{3}

- \frac{{(-1)}^{2}}{2}

- 2 \cdot (-1)

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

3

2

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{8}{3} + \frac{4}{2}

\frac{-8 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-2 \cdot (-1)

2

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 4

- \frac{1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 2

16

4 \cdot 3

12

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

4 - \frac{1}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{- 16 + 12}{6}

+ \frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 16 + 12

-4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

- \frac{4}{6} + \frac{12 - 1}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{6}

- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{2}{3}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 1

11

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3} + \frac{- 1 + 4}{2}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3}

\frac{- 2 + 11}{3}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 4

3

\frac{- 2 + 11}{3} + \frac{3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 + 11

9

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

3

2

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

\frac{9 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

9 \cdot 2

18

3 \cdot 3

9

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{18 + 9}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

18 + 9

27

\frac{27}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{27}{6}

\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9}{2}

▶Intégrale :

\frac{9}{2}

3) La valeur numérique de :

\frac{9}{2}

est :

▷

4,5