integrale entre -1 et 3 de x/(x^2+4)

1) Calculons l'intégrale :

\int_{-1}^{3} \frac{x}{x^{2} + 4} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{x}{x^{2} + 4}

, sachant que (ln(a))' = a'/a, on tente de dériver

\ln (x^{2} + 4)

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 4))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

x^{2} + 4

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 4))

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2} + 4}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{x^{2} + 4}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{x^{2} + 4}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

est

\frac{x}{x^{2} + 4}

, donc

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

est une primitive de

\frac{x}{x^{2} + 4}

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{1 \cdot \ln (x^{2} + 4)}{2}

\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2}

▷

\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2}

3) Évaluons sur l'intervalle

[-1; 3]

\frac{\ln (3^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln ({(-1)}^{2} + 4)}{2}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

\frac{\ln (9 + 4)}{2} - \frac{\ln (1 + 4)}{2}

ⓘ On part de

9

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

9 + 4

13

■On part de

1

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

1 + 4

5

\frac{\ln (13)}{2} - \frac{\ln (5)}{2}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{\ln (13)}{2} - \frac{\ln (5)}{2}

\frac{\ln (13) - \ln (5)}{2}

\frac{\ln (13) - \ln (5)}{2}

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (13) - \ln (5)

\ln (\frac{13}{5})

▶Intégrale :

\frac{\ln (\frac{13}{5})}{2}

4) La valeur numérique de :

\frac{\ln (\frac{13}{5})}{2}

vaut :

\frac{\ln (2,6)}{2}

\frac{\approx 0,9555}{2}

▷

\approx 0,4778