integrale entre -8 et 0 de (y/8+sqrt(y+9))

1) Calculons l'intégrale :

\int_{-8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y

Pour l'expression mathématique :

\sqrt{y + 9}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(y + 9)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Dérivons :

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{3}{2}})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d y} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d y} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

y + 9

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d y} (y + 9)

1 + 0

\frac{3 \cdot (1 + 0) \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

\frac{3 \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}} + \int \frac{y}{8} d y

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}} + \int \frac{y}{8} d y

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{y}{8} d y

\frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{1 \cdot y^{2}}{8 \cdot 2}

\frac{y^{2}}{16}

▷

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{y^{2}}{16}

3) Évaluons sur l'intervalle

[-8; 0]

(\frac{0^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{{(-8)}^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3})

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 9

9

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

9^{\frac{3}{2}}

9 \cdot \sqrt{9}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{{(-8)}^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3})

- \frac{{(-8)}^{2}}{16} - \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

0

+ \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

- \frac{{(-8)}^{2}}{16}

- \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

\frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

■La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

■Les parenthèses se calculent en premier :

- 8 + 9

1

ⅰ

2 \cdot 9

18

\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{64}{16} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}

On simplifie la fraction :

\frac{64}{16}

par le facteur commun :

16

pour obtenir la nouvelle expression :

4

\frac{54}{3} - 4 - \frac{2}{3}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{54}{3}

18

18 - 4 - \frac{2}{3}

ⓘ On part de

18

et on recule de

4

sur la droite des nombres :

18 - 4

14

14 - \frac{2}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

14 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 14 - 2}{3}

\frac{3 \cdot 14 - 2}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 14

3 \cdot (10 + 4)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 4

30 + 12

42

\frac{42 - 2}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

42 - 2

40

▶Intégrale :

\frac{40}{3}

4) La valeur numérique de :

\frac{40}{3}

vaut :

▷

\approx 13,3333