integrale entre -infinity et 0 de 1/(6-2x)

Calculons l'intégrale :

\int_{-∞}^{0} \frac{1}{6 - 2 x} d x

On pose

u = 6 - 2 x

. Alors

du = - 2 dx

, donc

dx = - \frac{du}{2}

\int \frac{1}{6 - 2 x} d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

On utilise

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

6 - 2 x \neq 0

On remplace

u

par

6 - 2 x

dans la primitive

ⓘ La dérivée de

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

est

\frac{1}{6 - 2 x}

, donc

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

est une primitive de

\frac{1}{6 - 2 x}

\int \frac{1}{6 - 2 x} d x

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

- \frac{1 \cdot \ln | 6 - 2 x |}{2}

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

▷

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

La borne

-∞

étant infinie, la primitive y prend sa limite

Calculons la limite de

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

lorsque

x \to -∞

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité qui ne tend pas vers 0 reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

- 2 x

est

+∞

quand

x \to -∞

ⓘ Une quantité infiniment grande plus une quantité finie ou bornée reste infiniment grande

La limite de

6 - 2 x

est

+∞

quand

x \to -∞

ⓘ C'est une limite de référence de la fonction abs

La limite de

| 6 - 2 x |

est

+∞

quand

x \to -∞

ⓘ C'est une limite de référence de la fonction ln

La limite de

\ln | 6 - 2 x |

est

+∞

quand

x \to -∞

ⓘ Une quantité infiniment grande divisée par un nombre non nul reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

Donc la limite de

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

est

-∞

quand

x \to -∞

L'intégrale est la valeur de la primitive à la borne supérieure moins celle à la borne inférieure :

- \frac{\ln (6)}{2}

- (

-∞

) =

+∞

, elle diverge donc vers

+∞

▶Intégrale :

+∞