integrale entre -pi et pi de x*sin(2*x)

1) Intégrons :

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (2 x) d x

⇥Pour

x \cdot \sin (2 x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

x

et v2' =

\sin (2 x)

⇥Donc la valeur de

u1'

est

1

⇥1.1) Intégrons v2' :

\int \sin (2 x) d x

⇥Pour retrouver l'intégrale connue de

\sin (u)

, on pose

u = 2 x

. Alors

du = 2 dx

, donc

dx = \frac{1}{2} \cdot du

⇥On utilise

\int \sin (u) d u = - \cos (u)

, puis on remplace

u = 2 x

⇥ⓘ La dérivée de

- \frac{\cos (2 x)}{2}

est

\sin (2 x)

, donc

- \frac{\cos (2 x)}{2}

est une primitive de

\sin (2 x)

\int \sin (2 x) d x

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥Donc la valeur de

v2

est

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥1.2) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int (- \frac{\cos (2 x)}{2}) d x

⇥Pour l'expression mathématique :

\frac{\cos (2 x)}{2}

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (2 x)

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

2 x

⇥ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2 \cdot \cos (2 x)

⇥On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

est

\frac{\cos (2 x)}{2}

, donc

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

est une primitive de

\frac{\cos (2 x)}{2}

- \int (- \frac{\cos (2 x)}{2}) d x

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

⇥

- \frac{x \cdot \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{4}

\frac{\sin (2 x)}{4}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{x \cdot \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}

\frac{2 \cdot (- x \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x)}{4}

⇥

\frac{2 \cdot (- x \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x)}{4}

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- x)

-2 x

⇥

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

On poursuit ensuite l'intégration :

ⅰ

\int x \cdot \sin (2 x) d x

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

▷

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

2) Évaluons pour l'intervalle

[- π; π]

\frac{\sin (2 π) - 2 π \cdot \cos (2 π)}{4} - \frac{\sin (2 \cdot (- π)) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (2 \cdot (- π))}{4}

ⓘ cos et sin sont périodiques de période 2π :

\sin (2 π)

\sin (0)

\cos (2 π)

\cos (0)

\sin (2 \cdot (- π))

\sin (0)

\cos (2 \cdot (- π))

\cos (0)

■Deux signes moins s'annulent :

-2 \cdot (- π)

2 π

\frac{\sin (0) - 2 π \cdot \cos (0)}{4} - \frac{\sin (0) + 2 π \cdot \cos (0)}{4}

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\sin (0)

0

■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\cos (0)

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

2 π \cdot 1

2 π

\frac{0 - 2 π}{4} - \frac{0 + 2 π}{4}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 2 π

- 2 π

0 + 2 π

2 π

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- \frac{2 π}{4} - \frac{2 π}{4}

- π

▶Intégrale :

- π

3) La valeur numérique de :

- π

vaut :

▷

\approx -3,1416