integrale entre -pi et pi de x*sin(n*x)

1) L'expression :

x \cdot \sin (n x)

contient plusieurs variables ; on choisit donc x pour l'intégration

Calculons l'intégrale :

\int(x \cdot \sin (n x))dx

Pour

x \cdot \sin (n x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

x

et v2' =

\sin (n x)

Ainsi

u1'

est

1

2) Calculons l'intégrale v2' :

\int(\sin (n x))dx

Pour l'expression mathématique :

\sin (n x)

, en utilisant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (\cos (a)) = - \sin (a)

, on peut tenter de dériver avec cos

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\cos (n x))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

avec f =

n x

- \frac{d}{d x} (n x) \cdot \sin (n x)

- n \cdot \sin (n x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

- \frac{1}{n} \cdot \cos (n x)

- \frac{\cos (n x)}{n}

Ainsi

v2

est

- \frac{\cos (n x)}{n}

4) Intégrons

u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

x \cdot (- \frac{\cos (n x)}{n}) - \int(- \frac{\cos (n x)}{n})dx

Pour l'expression mathématique :

\frac{\cos (n x)}{n}

, connaissant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (\sin (a)) = \cos (a)

, on peut essayer de dériver avec la fonction sin

5) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\sin (n x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

n x

\frac{d}{d x} (n x) \cdot \cos (n x)

n \cdot \cos (n x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{1}{n^{2}} \cdot \sin (n x)

▷

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

Le paramètre n est réel et constant pendant l'intégration ; cette primitive s'utilise sous la condition

n \in ℝ \ {0}

Pour n = 0, l'intégrande est identiquement nul : l'intégrale vaut 0

6) Évaluons sur l'intervalle

[- π, π]

(\frac{\sin (n π)}{n^{2}} - \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}) - (\frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} - (\frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}))

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- \frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}}

+ \frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- \frac{\sin (- n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (- n π)}{n}

ℹ

\sin (- n π)

- \sin (n π)

‖

\cos (- n π)

\cos (n π)

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- (\frac{- \sin (n π)}{n^{2}})

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

ℹ

- (\frac{- \sin (n π)}{n^{2}})

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

‖

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n} - \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

-2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

\frac{\sin (n π)}{n^{2}} - 2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n} + \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

ℹ

-2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

\frac{-2 π \cdot \cos (n π)}{n}

‖

\frac{\sin (n π)}{n^{2}} + \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n}

▶Intégrale :

\frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n}