integrale entre -pi et pi de x*sin(x/2)

1) Calculons l'intégrale :

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (\frac{x}{2}) d x

⇥Pour

x \cdot \sin (\frac{x}{2})

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

x

et v2' =

\sin (\frac{x}{2})

⇥Donc

u1'

correspond à

1

⇥1.1) Calculons l'intégrale v2' :

\int \sin (\frac{x}{2}) d x

⇥Pour l'expression mathématique :

\sin (\frac{x}{2})

, sachant que (cos(a))' = -a'*sin(a), on tente de dériver

\cos (\frac{x}{2})

⇥1.2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

avec f =

\frac{x}{2}

⇥ⓘ La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))

- \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥

- \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u'. La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2})

\frac{1}{2}

⇥

- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2})

- \frac{1 \cdot \sin (\frac{x}{2})}{2}

- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}

⇥

- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

est

\sin (\frac{x}{2})

, donc

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

est une primitive de

\sin (\frac{x}{2})

\int \sin (\frac{x}{2}) d x

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥Donc la valeur de

v2

est

- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥1.3) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) - \int (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) d x

⇥Pour l'expression mathématique :

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (\frac{x}{2})

⇥1.4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{x}{2}))

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

\frac{x}{2}

⇥ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{x}{2}))

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u'. La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2})

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{x}{2})

\frac{1 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2}

\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}

⇥

\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

est

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

, donc

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

est une primitive de

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

- \int (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) d x

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

Puis on reprend le calcul d'intégrale :

ⅰ

\int x \cdot \sin (\frac{x}{2}) d x

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

▷

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

2) Évaluons sur l'intervalle

[- π; π]

(4 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 π \cdot \cos (\frac{π}{2})) - (4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2}))

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

\frac{π}{2}

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\sin (\frac{π}{2})

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

4 \cdot 1

4

■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

\frac{π}{2}

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\cos (\frac{π}{2})

0

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2}))

- 4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) + 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2})

4

- 2 π \cdot 0

- 4 \cdot \sin (- \frac{π}{2})

+ 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2})

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

2 π \cdot 0

0

■sin est impaire, sin(-x) = -sin(x) :

\sin (- \frac{π}{2})

- \sin (\frac{π}{2})

■cos est paire, cos(-x) = cos(x) :

\cos (- \frac{π}{2})

\cos (\frac{π}{2})

■On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- π)

-2 π

4

+ 0

- 4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

- 2 π \cdot \cos (\frac{π}{2})

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

-4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

■Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

\frac{π}{2}

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

- \sin (\frac{π}{2})

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

-4 \cdot (-1)

4

■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

\frac{π}{2}

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\cos (\frac{π}{2})

0

4 + 4 - 2 π \cdot 0

ⓘ On part de

4

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

4 + 4

8

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

2 π \cdot 0

0

8 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

8 + 0

8

▶Intégrale :

8