integrale triple de x — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int x d x

ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

\frac{x^{2}}{2}

Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x^{2}}{2} + C

2) Intégrons :

\int (\frac{x^{2}}{2} + C) d x

ⅰ

\int (\frac{x^{2}}{2} + C) d x

\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int C d x

\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int C d x

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{x^{2}}{2} d x

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

C x

est

C

, donc

C x

est une primitive de

C

\int C d x

C x

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C x

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{2 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{6}

\frac{x^{3}}{6} + C x

Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C1, ce qui donne :

\frac{x^{3}}{6} + C x + C1

3) Intégrons :

\int (\frac{x^{3}}{6} + C x + C1) d x

ⅰ

\int (\frac{x^{3}}{6} + C x + C1) d x

\int \frac{x^{3}}{6} d x + \int C x d x + \int C1 d x

\int \frac{x^{3}}{6} d x + \int C x d x + \int C1 d x

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{x^{3}}{6} d x

\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\int C x d x

C \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La dérivée de

C1 \cdot x

est

C1

, donc

C1 \cdot x

est une primitive de

C1

\int C1 d x

C1 \cdot x

\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C \cdot \frac{x^{2}}{2} + C1 \cdot x

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{1 \cdot x^{4}}{6 \cdot 4}

\frac{x^{4}}{24}

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

C \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{C x^{2}}{2}

\frac{x^{4}}{24} + \frac{C x^{2}}{2} + C1 \cdot x

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C2, ce qui donne :

\frac{x^{4}}{24}

+ \frac{C x^{2}}{2}

+ C1 \cdot x

+ C2

, avec C, C1 et C2, 3 constantes