integre e^(3x) — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int e^{3 x} d x

Pour l'expression mathématique :

e^{3 x}

, sachant que (exp(a))' = a'*exp(a), on tente de dériver

\exp (3 x)

Dérivons :

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

avec f =

3 x

ⓘ La dérivée de

\exp (x)

est

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée : celle de

k u

est

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3 \exp (3 x)

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ En dérivant

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

, on obtient

e^{3 x}

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

est donc une primitive de

e^{3 x}

\int e^{3 x} d x

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

\frac{1 \cdot e^{3 x}}{3}

\frac{e^{3 x}}{3}

\frac{e^{3 x}}{3}

▶Une intégrale indéfinie est définie à une constante additive C près ; on obtient donc :

\frac{e^{3 x}}{3} + C