integre sqrt(2x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int(\sqrt{2 x})dx

Pour

\sqrt{2 x}

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 + \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

\sqrt{2 x}

et v2' =

1

2) Effectuons la dérivation u1 :

{(\sqrt{2 x})}^{'}

On applique la formule de dérivation :

{(\sqrt{f})}^{'} = {(f)}^{'} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

2 x

{(2 x)}^{'} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

Ainsi

u1'

est

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

3) Calculons l'intégrale v2' :

\int(1)dx

x

4) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

\frac{x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}

Pour simplifier l'expression, cette fraction :

\frac{x}{\sqrt{x}}

se réécrit en une nouvelle expression :

x^{(1 - \frac{1}{2})}

\frac{x^{(1 - \frac{1}{2})}}{\sqrt{2}}

\frac{x^{(\frac{2 - 1}{2})}}{\sqrt{2}}

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

Par convention, on préfère placer les racines carrées numériques au numérateur :

\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{2}}{2}

5) Calculons l'intégrale

u1 \cdot v2 + \int(u1' \cdot v2)dx

\sqrt{2 x} \cdot x - \int(\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{2}}{2})dx

Pour

\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{2}}{2}

, on utilise la formule d'intégration :

\int(x^{n})dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{(\frac{1}{2} + 1)}}{\frac{1}{2} + 1}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{(\frac{1 + 2}{2})}}{2 \cdot \frac{1 + 2}{2}}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{2 \cdot 3}{2}}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

\sqrt{2 x} \cdot x - \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + C

▷Résultat : $- \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}}{3} + x \cdot \sqrt{2 x} + C$ , où C est une constante