integre sqrt(2x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int \sqrt{2 x} d x

⇥Pour

\sqrt{2 x}

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

\sqrt{2 x}

et v2' =

1

⇥1.1) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

2 x

⇥ⓘ La dérivée de

\sqrt{x}

est

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x)}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

■Un facteur constant se garde devant la dérivée : celle de

k u

est

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥ⓘ Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥Donc la valeur de

u1'

est

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥1.2) Intégrons v2' :

\int 1 d x

⇥ⓘ La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{\sqrt{2 x}}

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

⇥

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

⇥ⓘ La racine d'un produit est le produit des racines,

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

\sqrt{2 x}

\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}

⇥

\frac{x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}

⇥On divise le numérateur et le dénominateur de

\frac{x}{\sqrt{x}}

par le facteur commun :

\sqrt{x}

, ce qui donne la nouvelle expression :

x^{1 - \frac{1}{2}}

⇥

\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\sqrt{2}}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

1 - \frac{1}{2}

\frac{2 - 1}{2}

⇥

\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\sqrt{2}}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 1

1

⇥

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

⇥Par convention, on préfère avoir les racines carrées numériques au numérateur plutôt qu'au dénominateur :

⇥ⅰ

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

⇥

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

⇥1.4) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\sqrt{2 x} \cdot x - \int \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2} d x

⇥Pour

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

, on utilise la formule d'intégration :

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de

x^{n}

est

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, pour

n

constant et

n \neq -1

- \int \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2} d x

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot \frac{3}{2}}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot \frac{3}{2}}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 3}{2}

\frac{6}{2}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

⇥ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

- \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

- \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{6}

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{3}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

Ensuite, on continue l'intégration :

ⅰ

\int \sqrt{2 x} d x

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

x \cdot \sqrt{2 x} - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + C