integre x*e^x — solution étape par étape

Intégrons :

\int x e^{x} d x

⇥Pour

x e^{x}

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

x

et v2' =

e^{x}

⇥Donc

u1'

correspond à

1

⇥Calculons l'intégrale v2' :

\int e^{x} d x

⇥ⓘ La dérivée de

e^{x}

est

e^{x}

, donc

e^{x}

est une primitive de

e^{x}

\int e^{x} d x

e^{x}

⇥

e^{x}

⇥Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x e^{x} - \int e^{x} d x

⇥ⓘ La dérivée de

- e^{x}

est

- e^{x}

, donc

- e^{x}

est une primitive de

- e^{x}

- \int e^{x} d x

- e^{x}

⇥

x e^{x} - e^{x}

On poursuit ensuite le calcul d'intégrale :

ⅰ

\int x e^{x} d x

x e^{x} - e^{x}

x e^{x} - e^{x}

On peut factoriser l'expression en :

e^{x} \cdot (x - 1)

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

e^{x} \cdot (x - 1) + C