integre x^2*ln(x) — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int x^{2} \cdot \ln (x) d x

⇥Pour

x^{2} \cdot \ln (x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

\ln (x)

et v2' =

x^{2}

⇥1.1) Dérivons u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.2) Intégrons v2' :

\int x^{2} d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

⇥

\frac{x^{2}}{3}

⇥1.4) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int \frac{x^{2}}{3} d x

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{9}

⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9}

⇥

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9}

On termine finalement le calcul d'intégrale :

ⅰ

\int x^{2} \cdot \ln (x) d x

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9} + C