integre x^2*ln(x)
Calculons l'intégrale : <math><mo>∫(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)dx</mo></math> Pour <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>, on utilise l'<u>intégration par parties</u> : <math><mo>∫(</mo><mi>u1</mi><mo>·</mo><mi>v2'</mi><mo>)dx</mo><mo> = </mo><mi>u1</mi><mo>·</mo><mi>v2</mi><mo> + </mo><mo>∫(</mo><mi>u1'</mi><mo>·</mo><mi>v2</mi><mo>)dx</mo></math> avec <m>u1 = <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></m> et <m>v2' = <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math></m> Effectuons la dérivation <m>u1</m> : <math><mo>(</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)'</mo></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> Calculons l'intégrale <m>v2'</m> : <math><mo>∫(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)dx</mo></math> <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> Calculons <math><mi>u1'</mi><mo>·</mo><mi>v2</mi></math> : <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> Intégrons <math><mi>u1</mi><mo>·</mo><mi>v2</mi><mo> + </mo><mo>∫(</mo><mi>u1'</mi><mo>·</mo><mi>v2</mi><mo>)dx</mo></math> : <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo> -</mo><mo>∫(</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)dx</mo></math> <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo> -</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo> -</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac></math> Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près <m>C</m>, ce qui donne : <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo> + </mo><mi>C</mi></math> ▷<b>Résultat : <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo> + </mo><mi>C</mi></math></b><span style='font-size:smaller'>, avec <m>C</m>, une constante (traitement : 14 étapes, 10 ms)</span>
