integre x^2*ln(x) — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int(x^{2} \cdot \ln (x))dx

Pour

x^{2} \cdot \ln (x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 + \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

\ln (x)

et v2' =

x^{2}

Effectuons la dérivation u1 :

{(\ln (x))}^{'}

\frac{1}{x}

Intégrons v2' :

\int(x^{2})dx

\frac{x^{3}}{3}

Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{x^{2}}{3}

Intégrons

u1 \cdot v2 + \int(u1' \cdot v2)dx

\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int(\frac{x^{2}}{3})dx

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9}

Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9} + C

▷Résultat : $\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{9} + C$ , avec C, une constante