integre x^3*ln(x) — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int(x^{3} \cdot \ln (x))dx

Pour

x^{3} \cdot \ln (x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 + \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

\ln (x)

et v2' =

x^{3}

Dérivons u1 :

{(\ln (x))}^{'}

\frac{1}{x}

Calculons l'intégrale v2' :

\int(x^{3})dx

\frac{x^{4}}{4}

Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{x^{3}}{4}

Intégrons

u1 \cdot v2 + \int(u1' \cdot v2)dx

\ln (x) \cdot \frac{x^{4}}{4} - \int(\frac{x^{3}}{4})dx

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16} + C

▷Réponse : $\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16} + C$ , où C est une constante