integre x^3*ln(x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int x^{3} \cdot \ln (x) d x

⇥Pour

x^{3} \cdot \ln (x)

, appliquons l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

\ln (x)

et v2' =

x^{3}

⇥1.1) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ La dérivée de

\ln (x)

est

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.2) Intégrons v2' :

\int x^{3} d x

⇥ⓘ Pour

n

constant et

n \neq -1

, on obtient

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

comme primitive de

x^{n}

\int x^{3} d x

\frac{x^{4}}{4}

⇥

\frac{x^{4}}{4}

⇥1.3) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{4}}{4}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{1 \cdot x^{4}}{x \cdot 4}

\frac{x^{4}}{x \cdot 4}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{x^{4}}{x \cdot 4}

\frac{x^{3}}{4}

⇥

\frac{x^{3}}{4}

⇥1.4) Évaluons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (x) \cdot \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{3}}{4} d x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\ln (x) \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Pour

n

constant et

n \neq -1

, on obtient

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

comme primitive de

x^{n}

- \int \frac{x^{3}}{4} d x

- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{1 \cdot x^{4}}{4 \cdot 4}

\frac{x^{4}}{16}

⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

⇥ⓘ On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

⇥

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

⇥ⓘ Pour simplifier la fraction, on factorise les termes par leur facteur commun :

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

⇥

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

Finalement, on termine l'intégration :

ⅰ

\int x^{3} \cdot \ln (x) d x

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

▶Une intégrale indéfinie est définie à une constante additive C près ; on obtient donc :

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16} + C