intersections avec les axes de f(x)=-4x^2-8x-3

Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

- 4 x^{2} - 8 x - 3 = 0

Résolvons dans

ℝ

- 4 x^{2} - 8 x - 3 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

4 x^{2} + 8 x + 3 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = 8

c = 3

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

Δ = 64 - 16 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

Δ = 64 - 48

ⓘ On part de

64

et on recule de

48

sur la droite des nombres :

64 - 48

16

Δ = 16

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{- 8 - 4}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 8 - 4

-12

x_{1} = - \frac{12}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{12}{8}

- \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{3}{2}

x_{1} = - \frac{3}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{- 8 + 4}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 8 + 4

-4

x_{2} = - \frac{4}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

x_{2} = - \frac{1}{2}

Solutions trouvées :

x = {- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}}

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

- 4 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 3

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

-4 \cdot 0

0

-8 \cdot 0

0

⇥

0 + 0 - 3

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0 - 3

-3

⇥

-3

▶Intersections avec les axes :

{(- \frac{3}{2}; 0); (- \frac{1}{2}; 0); (0; -3)}