intersections avec les axes de f(x)=(2x^2-3x-20)/(x-5)

Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5} = 0

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5} = 0

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - 3 x - 20 = 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = -3

c = -20

⇥

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-20)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 8 \cdot (-20)

8 \cdot 20

⇥

Δ = 9 + 8 \cdot 20

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 20

160

⇥

Δ = 9 + 160

⇥ⓘ On part de

9

et on avance de

160

sur la droite des nombres :

9 + 160

169

⇥

Δ = 169

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{169}

13

;

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{3 - 13}{4}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 - 13

-10

⇥

x_{1} = - \frac{10}{4}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{4}

- \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{5}{2}

⇥

x_{1} = - \frac{5}{2}

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{169}

13

;

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{3 + 13}{4}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 13

16

⇥

x_{2} = \frac{16}{4}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{4}

4

⇥

x_{2} = 4

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = {- \frac{5}{2}; 4}

⇥1.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x - 5 \neq 0

⇥Condition de définition :

x \neq 5

Pour que l'expression

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5}

existe, on doit vérifier :

x - 5 \neq 0

Contraintes liées au domaine :

x \neq 5

La courbe coupe l'axe des abscisses en

{(- \frac{5}{2}; 0); (4; 0)}

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

\frac{2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 20}{0 - 5}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

2 \cdot 0

0

-3 \cdot 0

0

■Additionner 0 ne change rien :

0 - 5

-5

■Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{0 + 0 - 20}{-5}

- \frac{0 + 0 - 20}{5}

⇥

- \frac{0 + 0 - 20}{5}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0 - 20

-20

■Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-20}{5})

\frac{20}{5}

⇥

\frac{20}{5}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

5

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{20}{5}

4

⇥

4

▶Intersections avec les axes :

{(- \frac{5}{2}; 0); (4; 0); (0; 4)}