intersections avec les axes de f(x)=(x-4)/(x^2-12x+32)

Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32} = 0

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32} = 0

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 4 = 0

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = 4

⇥1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -12

c = 32

⇥

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

⇥

Δ = 144 - 4 \cdot 32

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

⇥

Δ = 144 - 128

⇥ⓘ On part de

144

et on recule de

128

sur la droite des nombres :

144 - 128

16

⇥

Δ = 16

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{12 - 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 4

8

⇥

x_{1} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{1} = 4

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{12 + 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 + 4

16

⇥

x_{2} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{2}

8

⇥

x_{2} = 8

⇥Solutions obtenues :

x \notin {4; 8}

Pour que l'expression

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32}

existe, on doit vérifier :

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

a déjà été résolu :

x \notin {4; 8}

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {4; 8}

La courbe ne coupe pas l'axe des abscisses

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

\frac{0 - 4}{0^{2} - 12 \cdot 0 + 32}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 4

-4

0 + 32

32

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

-12 \cdot 0

0

⇥

- \frac{4}{0 + 32}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 32

32

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{32}

- \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4}

- \frac{1}{8}

⇥

- \frac{1}{8}

▶Intersections avec les axes :

(0; - \frac{1}{8})