intersections avec les axes de f(x)=x^3-x^2+x-1

Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

x^{3}

- x^{2}

+ x

- 1 = 0

1) Résolvons dans

ℝ

x^{3}

- x^{2}

+ x

- 1 = 0

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 1

⇥Calculons la valeur de :

1^{3}

- 1^{2}

+ 1

- 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0 + 1 - 1

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

■On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

⇥Solution obtenue :

x = 1

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{3}

- x^{2}

+ x

- 1)

(x - 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- x^{2}$ $+ x$ $- 1$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 1) = x^{3} - x^{2}$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $+ x$ $- 1) - (x^{3} - x^{2}) = x - 1$
$x - 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x - 1) - (x - 1) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} + 1

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 1 = 0

⇥

x^{2} = -1

⇥Dans ℝ, un carré n'est jamais négatif : aucun nombre réel n'a pour carré

-1

⇥Solution :

x \in \emptyset

Solution obtenue :

x = 1

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

0^{3}

- 0^{2}

+ 0

- 1

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0

+ 0

+ 0

- 1

-1

⇥

-1

▶Intersections avec les axes :

{(1; 0); (0; -1)}