intersections avec les axes de f(x)=x^6-7x^3-8

Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

⇥1) Résolvons dans

ℝ

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

⇥Définissons :

X = x^{3}

⇥On peut reformuler l'expression en :

X^{2} - 7 X - 8 = 0

⇥Vu la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -7

c = -8

⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot (-8)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-8)

32

⇥

Δ = 49 + 32

⇥ⓘ On part de

49

et on avance de

32

sur la droite des nombres :

49 + 32

81

⇥

Δ = 81

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{81}

9

;

9^{2}

81

⇥

X_{1} = \frac{7 - 9}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

7 - 9

-2

⇥

X_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

X_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{81}

9

;

9^{2}

81

⇥

X_{2} = \frac{7 + 9}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

7 + 9

16

⇥

X_{2} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{2}

8

⇥

X_{2} = 8

⇥Solutions trouvées :

X = {-1; 8}

⇥2) Résolvons en x :

X = x^{3}

où

X = -1

⇥

x^{3} = -1

⇥On prend la racine :

- \sqrt[3]{1} = -1

. La puissance étant impaire,

x^{3} = -1

a une seule solution réelle,

-1

⇥Solution obtenue :

x = -1

⇥3) Cherchons x dans :

X = x^{3}

où

X = 8

⇥

x^{3} = 8

⇥On prend la racine :

\sqrt[3]{8} = 2

. La puissance étant impaire,

x^{3} = 8

a une seule solution réelle,

2

⇥Solution obtenue :

x = 2

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

0^{6} - 7 \cdot 0^{3} - 8

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

-7 \cdot 0

0

■Additionner 0 ne change rien :

0 - 8

-8

⇥

0 - 8

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 8

-8

⇥

-8

▶Intersections avec les axes :

{(-1; 0); (2; 0); (0; -8)}