intersections avec les axes de -4x^2+6x-1

Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

- 4 x^{2} + 6 x - 1 = 0

Résolvons dans

ℝ

- 4 x^{2} + 6 x - 1 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

4 x^{2} - 6 x + 1 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = -6

c = 1

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot 4

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

Δ = 36 - 16

ⓘ On part de

36

et on recule de

16

sur la droite des nombres :

36 - 16

20

Δ = 20

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

20

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{6 - 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 - 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

\frac{3 - \sqrt{5}}{4}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{20}}{2 \cdot 4}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

20

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 + 2 \cdot \sqrt{5}}{8}

\frac{3 + \sqrt{5}}{4}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}

Solutions trouvées :

x = {\frac{3 - \sqrt{5}}{4}; \frac{3 + \sqrt{5}}{4}}

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

- 4 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0 - 1

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

-4 \cdot 0

0

6 \cdot 0

0

⇥

0 + 0 - 1

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0 - 1

-1

⇥

-1

▶Intersections avec les axes :

{(\frac{3 - \sqrt{5}}{4}; 0); (\frac{3 + \sqrt{5}}{4}; 0); (0; -1)}