lim((2*exp(x)+x)/(exp(x)+1), x->+inf)

1) Évaluons la limite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

quand

x \to +∞

ⓘ On utilise une limite de référence de la fonction exp

La limite de

\exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité dont la limite est non nulle reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

2 \exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ La somme de deux quantités qui tendent vers le même infini tend vers cet infini

La limite de

2 \exp (x) + x

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande plus une quantité finie ou bornée reste infiniment grande

La limite de

\exp (x) + 1

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) Pour déterminer la limite, divisons le numérateur et le dénominateur par

\exp (x)

3) Simplifions :

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

4) Simplifions :

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

On obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

Pour

\frac{x}{\exp (x)}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

Par croissances comparées,

\exp (x)

l'emporte sur

x

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{x}{\exp (x)}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

2 + \frac{x}{\exp (x)}

est

2

quand

x \to +∞

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

\frac{1}{\exp (x)}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 + \frac{1}{\exp (x)}

est

1

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

est

2

quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

est

2

quand

x \to +∞

▶Limite :

2