lim((2*exp(x)+x)/(exp(x)+1), x->+inf)

1) Calculons la limite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

lorsque

x \to +∞

La limite de

\exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

2 \exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

2 \exp (x) + x

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

\exp (x) + 1

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) Pour trouver la limite, on divise le numérateur et le dénominateur par

\exp (x)

Réduisons :

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

3) Réduisons :

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

On obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

Pour :

\frac{x}{\exp (x)}

, on tombe sur la limite indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

+∞

Par croissances comparées,

\exp (x)

l'emporte sur

x

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{x}{\exp (x)}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

La limite de

2 + \frac{x}{\exp (x)}

est

2

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{1}{\exp (x)}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

La limite de

1 + \frac{1}{\exp (x)}

est

1

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

est

2

quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

est

2

quand

x \to +∞

▷Résultat : $2$