lim(sqrt(16*x^4+sin(x))/x, x->+inf)

1) Évaluons la limite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

quand

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande élevée à une puissance positive reste infiniment grande, à une puissance négative elle tend vers 0

La limite de

x^{4}

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité dont la limite est non nulle reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

16 x^{4}

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

\sin (x)

n'existe pas mais est bornée sur

[-1; 1]

quand

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande plus une quantité finie ou bornée reste infiniment grande

La limite de

16 x^{4} + \sin (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ C'est une limite de référence de la fonction sqrt

La limite de

\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) Pour trouver la limite, on peut factoriser le terme dominant et transformer

16 x^{4} + \sin (x)

16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})

\frac{\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}}{x}

ⓘ La racine d'un produit est le produit des racines,

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

\frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

ⓘ La racine carrée d'un réel positif ou nul est définie comme le nombre positif ou nul dont le carré redonne ce réel :

\sqrt{16}

4

puisque

4^{2}

16

■La racine carrée d'un carré est la valeur absolue :

\sqrt{x^{4}}

| x^{2} |

\frac{4 \cdot | x^{2} | \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

L’expression dans la valeur absolue est positive ou nulle : sa valeur absolue est égale à cette expression

ⅰ

| x^{2} |

x^{2}

\frac{4 x^{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

On simplifie la fraction :

\frac{x^{2}}{x}

par le facteur commun :

x

pour obtenir la nouvelle expression :

x

4 \cdot x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité dont la limite est non nulle reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞■Une quantité bornée divisée par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

\frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

est

0

quand

x \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

est

1

quand

x \to +∞

ⓘ La fonction sqrt est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

est

\sqrt{1}

quand

x \to +∞

Calculons :

\sqrt{1}

1

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité dont la limite est non nulle reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

4 x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

est

+∞

quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

▶Limite :

+∞