lim(sqrt(16*x^4+sin(x))/x, x->+inf)

1) Evaluons la limite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

quand

x \to +∞

La limite de

x^{4}

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

16 x^{4}

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

\sin (x)

n'existe pas mais est bornée sur

[-1, 1]

quand

x \to +∞

La limite de

16 x^{4} + \sin (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) Pour trouver la limite, on peut factoriser le terme dominant et transformer

16 x^{4} + \sin (x)

16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})

\frac{\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}}{x}

\frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

\frac{4 \cdot abs (x^{2}) \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

Le contenu de abs est positif : on peut supprimer abs

\frac{4 x^{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

Pour simplifier l'expression, cette fraction :

\frac{x^{2}}{x}

se réécrit en une nouvelle expression :

x

4 \cdot x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

La limite de

\frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

est

0

quand

x \to +∞

La limite de

1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

est

1

quand

x \to +∞

La limite de

\sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

est

1

quand

x \to +∞

La limite de

4 x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

est

+∞

quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

▷Résultat : $+∞$