limite quand x tend vers 0 de ((tan(5x)))/x

1) Calculons la limite de

\frac{\tan (5 x)}{x}

lorsque

x \to 0

ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites

La limite de

5 x

est

5 \cdot 0

quand

x \to 0

⇥1.1) Calculons :

5 \cdot 0

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

5 \cdot 0

0

⇥

0

ⓘ La fonction tan est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\tan (5 x)

est

\tan (0)

quand

x \to 0

⇥1.2) Calculons :

\tan (0)

⇥ⓘ La tangente est le rapport de l'ordonnée (axe vertical) à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, à condition que l'abscisse ne soit pas nulle, c'est une valeur remarquable :

\tan (0)

0

⇥

0

Pour :

\frac{\tan (5 x)}{x}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

0

2) On cherche un développement limité pour l'expression :

\tan (5 x)

Avec la formule de Taylor :

\tan (A) + (1 + {\tan (A)}^{2}) \cdot (X - A)

de tan, on calcule le DL pour X=

5 x

au point A=

0

d'ordre N=1

\tan (0) + (1 + {\tan (0)}^{2}) \cdot (5 x + 0)

ⓘ La tangente est le rapport de l'ordonnée (axe vertical) à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, à condition que l'abscisse ne soit pas nulle, c'est une valeur remarquable :

\tan (0)

0

■Additionner 0 ne change rien :

5 x + 0

5 x

0 + (1 + 0^{2}) \cdot 5 x

3) On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor :

5 x

\frac{5 x}{x}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x

\frac{5 x}{x}

5

5

Donc la limite de

\frac{\tan (5 x)}{x}

est

5

quand

x \to 0

▶Limite :

5