1) Calculons la limite de $\frac{\sin (-x)}{x}$ lorsque $x\to 0$

ⓘ La fonction sin est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de $\sin (-x)$ est $\sin \left(0\right)$ quand $x\to 0$

Évaluons : $\sin \left(0\right)$

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\sin \left(0\right)$ = $0$

$0$

Pour $\frac{\sin (-x)}{x}$, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque $x$ tend vers $0$

2) On recherche un développement limité de : $\sin (-x)$

Avec la formule de Taylor : $\sin \left(A\right)+\cos \left(A\right)·(X-A)$ de sin, on calcule le DL pour X=$-x$ au point A=$0$ d'ordre N=1

$\sin \left(0\right)+\cos \left(0\right)·(-x+0)$

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\sin \left(0\right)$ = $0$■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\cos \left(0\right)$ = $1$■Additionner 0 ne change rien : $-x+0$ = $-x$■Multiplier par 1 ne change rien : $1·(-x)$ = $-x$

$0-x$

3) On recommence avec le développement de Taylor : $-x$

$-\frac{x}{x}$

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun : $-\frac{x}{x}$ = $-1$

$-1$

Donc la limite de $\frac{\sin (-x)}{x}$ est $-1$ quand $x\to 0$

▶Limite :   $-1$