limite quand x tend vers 0 de (sqrt(5+x)-sqrt(5))/(2x)
1) Calculons la limite de lorsque
ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites
La limite de est quand
ⓘ La fonction sqrt est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument
La limite de est quand
ⓘ La fonction sqrt est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument
La limite de est quand
ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites
La limite de est quand
⇥1.1) Calculons :
⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : =
⇥
ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites
La limite de est quand
⇥1.2) Calculons :
⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul : =
⇥
Pour : , on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand tend vers
2) On recherche un développement limité de :
En utilisant la formule de Taylor : de la fonction sqrt , on calcule le développement limité pour X = au point A = d'ordre N =1
ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division : =
ⓘ Additionner 0 ne change rien : =
Par convention, on préfère avoir les racines carrées numériques au numérateur plutôt qu'au dénominateur :
ⅰ =
3) On recommence avec le développement de Taylor :
ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : = ■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs : =
ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul : =
ⓘ Additionner 0 ne change rien : =
ⓘ Diviser une fraction par revient à multiplier son dénominateur par : =
ⅰ =
ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun : =
ⓘ La fonction sqrt est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument
La limite de est quand
La limite de est quand
Donc la limite de est quand
▶Limite :
4) La valeur numérique de : est :
▷
