limite quand x tend vers 1 de (ln(x))/(x-1)

1) Calculons la limite de

\frac{\ln (x)}{x - 1}

lorsque

x \to 1

ⓘ La fonction ln est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\ln (x)

est

\ln (1)

quand

x \to 1

⇥1.1) Évaluons :

\ln (1)

⇥ⓘ ln(1) = 0, car exp(0) = 1 :

\ln (1)

0

⇥

0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 1

est

1 - 1

quand

x \to 1

⇥1.2) Calculons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

Pour

\frac{\ln (x)}{x - 1}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

1

2) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x - 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

1

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

La limite de

\frac{1}{x}

est

1

quand

x \to 1

Donc la limite de

\frac{\ln (x)}{x - 1}

est

1

quand

x \to 1

▶Limite :

1