limite quand x tend vers 8 de (sqrt(7+\sqrt[3]{x})-3)/(x-8)

1) Calculons la limite de

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

lorsque

x \to 8

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

\sqrt[3]{x}

est

\sqrt[3]{8}

quand

x \to 8

⇥1.1) Calculons :

\sqrt[3]{8}

⇥ⓘ La racine d'ordre

3

est le nombre dont la puissance

3

vaut le radicande :

\sqrt[3]{8}

2

;

2^{3}

8

⇥

2

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

7 + \sqrt[3]{x}

est

7 + 2

quand

x \to 8

⇥1.2) Calculons :

7 + 2

⇥ⓘ On part de

7

et on avance de

2

sur la droite des nombres :

7 + 2

9

⇥

9

ⓘ La fonction sqrt est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

est

\sqrt{9}

quand

x \to 8

⇥1.3) Calculons :

\sqrt{9}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

3

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3

est

3 - 3

quand

x \to 8

⇥1.4) Calculons :

3 - 3

⇥ⓘ On part de

3

et on recule de

3

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

3 - 3

0

⇥

0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 8

est

8 - 8

quand

x \to 8

⇥1.5) Évaluons :

8 - 8

⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

8

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

8 - 8

0

⇥

0

Pour

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

8

2) Appliquons la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en dérivant numérateur et dénominateur :

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3)

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

7 + \sqrt[3]{x}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}})

■La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}})

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x})}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x})

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

\frac{\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

\frac{1 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}

■On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

x^{- \frac{2}{3}}

\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

\frac{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Diviser une fraction par

3

revient à multiplier son dénominateur par

3

\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}{3}

\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}

■Diviser une fraction par

2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

revient à multiplier son dénominateur par

2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

\frac{\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{3 \cdot 2 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{3 \cdot 2 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{1}{6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x - 8)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 8)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

1

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

\sqrt[3]{x^{2}}

est

\sqrt[3]{8^{2}}

quand

x \to 8

⇥4.1) Calculons :

\sqrt[3]{8^{2}}

⇥ⓘ La racine d'ordre n d'une puissance m est la puissance m de la racine d'ordre n ; ici, la racine d'ordre

3

8

vaut

2

\sqrt[3]{8^{2}}

2^{2}

⇥

2^{2}

⇥ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

4

ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites

La limite de

6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

est

6 \cdot 4 \cdot 3

quand

x \to 8

⇥4.2) Calculons :

6 \cdot 4 \cdot 3

⇥ⅰ

6 \cdot 4

24

⇥

24 \cdot 3

⇥ⅰ

24 \cdot 3

(20 + 4) \cdot 3

20 \cdot 3 + 4 \cdot 3

60 + 12

72

⇥

72

La limite de

\frac{1}{6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

est

\frac{1}{72}

quand

x \to 8

Donc la limite de

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

est

\frac{1}{72}

quand

x \to 8

▶Limite :

\frac{1}{72}

5) La valeur numérique de :

\frac{1}{72}

vaut :

▷

\approx 1,3889 \times 10^{- 2}