limite x->0 ln(1+x)/x — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

quand

x \to 0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 + x

est

1

quand

x \to 0

ⓘ La fonction ln est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\ln (1 + x)

est

\ln (1)

quand

x \to 0

Calculons :

\ln (1)

ⓘ ln(1) = 0, car exp(0) = 1 :

\ln (1)

0

0

Pour :

\frac{\ln (1 + x)}{x}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

0

2) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

1 + x

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x))

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot 1}{1 + x}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x)}{1 + x}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + x)

0 + 1

\frac{0 + 1}{1 + x}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

\frac{1}{1 + x}

4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

La limite de

\frac{1}{1 + x}

est

1

quand

x \to 0

Donc la limite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

est

1

quand

x \to 0

▶Limite :

1