limite x->0 ln(1+x)/x
Calculons la limite de <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> lorsque <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></math> est <m><math><mn>1</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mn>0</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> Pour <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on obtient la <u>forme indéterminée</u> : <m>0/0</m> lorsque <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> On cherche un développement limité pour l'expression : <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> Avec la formule de Taylor : <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> + </mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mi>N</mi></munderover><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>·</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> de <m>ln</m>, on calcule le DL pour <m>X</m>=<math><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></math> au point <m>A</m>=<math><mn>1</mn></math> d'ordre <m>N</m>=1 <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> + </mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></munderover><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>·</mo><msup><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mn>0</mn><mo> + </mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></munderover><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></math> <math><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></munderover><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mfrac></math> <math><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi>x</mi></math> On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor : <math><mi>x</mi></math> <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> <math><mn>1</mn></math> Donc la limite de <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>1</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> ▷<b>Résultat : <math><mn>1</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (le calcul a pris 15 étapes et 2 ms)</span>
