limite x->0 ln(1+x)/x — solution étape par étape

Calculons la limite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

lorsque

x \to 0

La limite de

1 + x

est

1

quand

x \to 0

La limite de

\ln (1 + x)

est

0

quand

x \to 0

Pour :

\frac{\ln (1 + x)}{x}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

0

On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Dérivons :

{(\ln (1 + x))}^{'}

On applique la formule de dérivation :

{(\ln (f))}^{'} = {(f)}^{'} \cdot \frac{1}{f}

avec f =

1 + x

{(1 + x)}^{'} \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{0 + 1}{1 + x}

\frac{1}{1 + x}

Dérivons :

{(x)}^{'}

1

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

La limite de

\frac{1}{1 + x}

est

1

quand

x \to 0

Donc la limite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

est

1

quand

x \to 0

▷Réponse : $1$