limite x->0 (1-cos(x))/x^2 — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

lorsque

x \to 0

La limite de

- \cos (x)

est

-1

quand

x \to 0

La limite de

1 - \cos (x)

est

0

quand

x \to 0

La limite de

x^{2}

est

0

⁺ quand

x \to 0

Pour :

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

0

2) On recherche un développement limité de :

- \cos (x)

En utilisant la formule de Taylor :

\cos (A) - \sin (A) \cdot (X - A) - \cos (A) \cdot \frac{{(X - A)}^{2}}{2}

de la fonction cos, on calcule le développement limité pour X=

x

au point A=

0

d'ordre N=2

\cos (0) - \sin (0) \cdot (x + 0) - \cos (0) \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{2}

1 + 0 \cdot x - \frac{x^{2}}{2}

1 + 0 - \frac{x^{2}}{2}

1 - \frac{x^{2}}{2}

3) On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor :

- 1 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 + (- 1 + \frac{x^{2}}{2})}{x^{2}}

\frac{\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{2}}

\frac{\frac{0 + x^{2}}{2}}{x^{2}}

\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}

\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}

\frac{1}{2}

Donc la limite de

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

est

\frac{1}{2}

quand

x \to 0

4) La valeur numérique de :

\frac{1}{2}

vaut :

0.5

▷Résultat : $\frac{1}{2}$

▷▷Résultat numérique:

0.5