limite x->0 (1-cos(x))/x^2
1) Evaluons la limite de <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mn>-1</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mn>0</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> Pour <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, on obtient la <u>forme indéterminée</u> : <m>0/0</m> lorsque <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> 2) On recherche un développement limité de : <math><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> En utilisant la formule de Taylor : <math><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> de la fonction <m>cos</m>, on calcule le développement limité pour <m>X</m>=<math><mi>x</mi></math> au point <m>A</m>=<math><mn>0</mn></math> d'ordre <m>N</m>=2 <math><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> <math><mn>1</mn><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> <math><mn>1</mn><mo> -</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> 3) On recommence avec le développement de Taylor : <math><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> + </mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> Donc la limite de <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> est <m><math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> 4) La valeur numérique de : <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> est : <math><mn>0.5</mn></math> ▷<b>Résultat : <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></b><span style='font-size:smaller'> (le calcul a nécessité 18 étapes et 4 ms)</span> ▷▷<i>Résultat numérique</i>: <math><mn>0.5</mn></math>
