limite x->0 (1-cos(x))/x^2 — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

quand

x \to 0

ⓘ La fonction cos est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

- \cos (x)

est

- \cos (0)

⁺ quand

x \to 0

⇥1.1) Calculons :

- \cos (0)

⇥ⓘ Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

- \cos (0)

-1

⇥

-1

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 - \cos (x)

est (

1 - 1

)⁺ quand

x \to 0

⇥1.2) Calculons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

La limite de

x^{2}

est

0

⁺ quand

x \to 0

Pour :

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

0

2) On cherche un développement limité pour l'expression :

- \cos (x)

En utilisant la formule de Taylor :

\cos (A) - \sin (A) \cdot (X - A) - \cos (A) \cdot \frac{{(X - A)}^{2}}{2}

de la fonction cos, on calcule le développement limité pour X=

x

au point A=

0

d'ordre N=2

\cos (0) - \sin (0) \cdot (x + 0) - \cos (0) \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{2}

ⓘ Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\cos (0)

1

- \cos (0)

-1

■Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\sin (0)

0

■Additionner 0 ne change rien :

x + 0

x

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

-1 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{-1 \cdot x^{2}}{2}

- \frac{x^{2}}{2}

1 + 0 \cdot x - \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot x

0

1 + 0 - \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - \frac{x^{2}}{2}

- \frac{x^{2}}{2}

1 - \frac{x^{2}}{2}

3) On recommence avec le développement de Taylor :

- 1 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 + (- 1 + \frac{x^{2}}{2})}{x^{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 1

0

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

0 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}

\frac{\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{2}}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot 2

0

\frac{\frac{0 + x^{2}}{2}}{x^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + x^{2}

x^{2}

\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}

ⓘ Diviser une fraction par

x^{2}

revient à multiplier son dénominateur par

x^{2}

\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}

\frac{x^{2}}{2 x^{2}}

\frac{x^{2}}{2 x^{2}}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x^{2}

\frac{x^{2}}{2 x^{2}}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Donc la limite de

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

est

\frac{1}{2}

quand

x \to 0

▶Limite :

\frac{1}{2}

4) La valeur numérique de :

\frac{1}{2}

est :

▷

0,5