limite x->0 (e^x-1)/x — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\frac{e^{x} - 1}{x}

lorsque

x \to 0

ⓘ La base tend vers un nombre strictement positif et l'exposant vers un nombre fini : on substitue ces limites par continuité

La limite de

e^{x}

est

1

quand

x \to 0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

e^{x} - 1

est

1 - 1

quand

x \to 0

Évaluons :

1 - 1

ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

0

Pour :

\frac{e^{x} - 1}{x}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

0

2) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (e^{x} - 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (e^{x} - 1)

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

\frac{d}{d x} (e^{x})

■La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :

Donc la limite de

\frac{e^{x} - 1}{x}

est

1

quand

x \to 0

▶Limite :

1