Evaluons la limite de <math><mfrac><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></msqrt><mo> -</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m>
 La limite de <math><msqrt><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></msqrt></math> est <m><math><mn>1</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m>
La limite de <math><msqrt><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></msqrt><mo> -</mo><mn>1</mn></math> est <m><math><mn>0</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m>
Pour : <math><mfrac><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></msqrt><mo> -</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <m>0/0</m> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math>
On cherche un développement limité pour l'expression : <math><msqrt><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></msqrt></math>
En utilisant la formule de Taylor : <math><msqrt><mi>A</mi></msqrt><mo> + </mo><mfrac><mrow><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>A</mi></msqrt></mrow></mfrac></math> de la fonction <m>sqrt</m>, on calcule le développement limité pour <m>X</m>=<math><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></math> au point <m>A</m>=<math><mn>1</mn></math> d'ordre <m>N</m>=1
 <math><msqrt><mn>1</mn></msqrt><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><msqrt><mn>1</mn></msqrt></mrow></mfrac></math>
On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor : <math><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math>
 <math><mfrac><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> -</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>
 <math><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>
 <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>
 <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math>
Donc la limite de <math><mfrac><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>x</mi></msqrt><mo> -</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> est <m><math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m>

La valeur approchée de : <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> est :
 <math><mn>0.5</mn></math>

▷<b>Réponse : &nbsp; <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></b><span style='font-size:smaller'> &nbsp; &nbsp; (le calcul a pris 15 étapes et 3 ms)</span>
▷▷<i>Valeur numérique</i>: &nbsp;<math><mn>0.5</mn></math>