limite x->0 (sqrt(1+x)-1)/x — solution étape par étape

1) Evaluons la limite de

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

quand

x \to 0

La limite de

\sqrt{1 + x}

est

1

quand

x \to 0

La limite de

\sqrt{1 + x} - 1

est

0

quand

x \to 0

Pour

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

0

2) On cherche un développement limité pour l'expression :

\sqrt{1 + x}

Avec la formule de Taylor :

\sqrt{A} + \frac{X - A}{2 \sqrt{A}}

de sqrt, on calcule le DL pour X=

1 + x

au point A=

1

d'ordre N=1

\sqrt{1} + \frac{1 + x - 1}{2 \cdot \sqrt{1}}

1 + \frac{0 + x}{2}

3) On recommence avec le développement de Taylor :

1 + \frac{x}{2}

\frac{(1 + \frac{x}{2}) - 1}{x}

\frac{\frac{0 \cdot 2 + x}{2}}{x}

\frac{\frac{0 + x}{2}}{x}

\frac{\frac{x}{2}}{x}

\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x}

\frac{1}{2}

Donc la limite de

\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

est

\frac{1}{2}

quand

x \to 0

4) La valeur numérique de :

\frac{1}{2}

vaut :

0.5

▷Réponse : $\frac{1}{2}$

▷▷Numérique:

0.5