limite x->0 (sqrt(1+x)-1)/x
1) Évaluons la limite de 1 + x -1x quand x → 0
ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites
La limite de 1 + x est 1 quand x → 0
ⓘ La fonction sqrt est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument
La limite de 1 + x est 1 quand x → 0
⇥1.1) Calculons : 1
⇥ 1
ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites
La limite de 1 + x -1 est 1 -1 quand x → 0
⇥1.2) Calculons : 1 -1
⇥ⓘ On part de 1 et on recule de 1 sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : 1 -1 = 0
⇥ 0
Pour 1 + x -1x, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque x tend vers 0
2) On cherche un développement limité pour l'expression : 1 + x
En utilisant la formule de Taylor : A + X -A2A de la fonction sqrt, on calcule le développement limité pour X=1 + x au point A=1 d'ordre N=1
1 + 1 + x -12·1
ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division : 1 -1 = 0
1 + 0 + x2
3) On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor : 1 + x2
(1 + x2) -1x
ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division : 1 -1 = 0■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs : 0 + x2 = 0·2 + x2
0·2 + x2x
ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul : 0·2 = 0
0 + x2x
ⓘ Additionner 0 ne change rien : 0 + x = x
x2x
ⓘ Diviser une fraction par x revient à multiplier son dénominateur par x : x2x = x2x
x2x
ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun x : x2x = 12
12
Donc la limite de 1 + x -1x est 12 quand x → 0
▶Limite :   12
4) La valeur numérique de : 12 vaut :
▷ 0,5