limite x->0 sin(2x)/x
Calculons la limite de <math><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> lorsque <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mn>2</mn><mi>x</mi></math> est <m><math><mn>0</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mn>0</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> Pour <math><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on obtient la <u>forme indéterminée</u> : <m>0/0</m> lorsque <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> On cherche un développement limité pour l'expression : <math><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></math> En utilisant la formule de Taylor : <math><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></math> de la fonction <m>sin</m>, on calcule le développement limité pour <m>X</m>=<math><mn>2</mn><mi>x</mi></math> au point <m>A</m>=<math><mn>0</mn></math> d'ordre <m>N</m>=1 <math><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math> On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor : <math><mn>2</mn><mi>x</mi></math> <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> <math><mn>2</mn></math> Donc la limite de <math><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>2</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> ▷<b>Réponse : <math><mn>2</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (le calcul a nécessité 11 étapes et 2 ms)</span>
