1) Évaluons la limite de $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$ quand $x\to 0$

ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites

La limite de $2x$ est $2·0$ quand $x\to 0$

⇥1.1) Évaluons : $2·0$

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul : $2·0$ = $0$

⇥ $0$

ⓘ La fonction sin est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de $\sin \left(2x\right)$ est $\sin \left(0\right)$ quand $x\to 0$

⇥1.2) Calculons : $\sin \left(0\right)$

⇥ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\sin \left(0\right)$ = $0$

⇥ $0$

Pour $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque $x$ tend vers $0$

2) On cherche un développement limité pour l'expression : $\sin \left(2x\right)$

Avec la formule de Taylor : $\sin \left(A\right)+\cos \left(A\right)·(X-A)$ de sin, on calcule le DL pour X=$2x$ au point A=$0$ d'ordre N=1

$\sin \left(0\right)+\cos \left(0\right)·(2x+0)$

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\sin \left(0\right)$ = $0$■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\cos \left(0\right)$ = $1$■Additionner 0 ne change rien : $2x+0$ = $2x$■Multiplier par 1 ne change rien : $1·2x$ = $2x$

$0+2x$

3) On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor : $2x$

$\frac{2x}{x}$

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun $x$ : $\frac{2x}{x}$ = $2$

$2$

Donc la limite de $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$ est $2$ quand $x\to 0$

▶Limite :   $2$